Algèbre : Les suites arithmétiques et géométriques - Spécialité

Suites géométriques : Somme de termes consécutifs

Exercice 1 : Calculer la somme de termes à partir d'un rang donné d'une suite géométrique (relation de récurrence, q entier > 0 et u0 entier > 0)

Soit \((u_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 4 \\ \forall n \geq 0, u_{n+1} = 4u_n \end{cases} \]

Calculer la somme suivante, \[ u_{4} + u_{5} + ... + u_{26} \]

Exercice 2 : Exprimer la somme des termes d'une suite géométrique (relation de récurrence, q entier ou fraction > 0 et u0 ou u1 entiers > 0)

Soit \((v_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 6 \\ \forall n \geq 0, u_{n+1} = \dfrac{4}{5}u_n \end{cases} \] \[ (v_n) : v_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \]

Exprimer \(v_n\) en fonction de n.

Exercice 3 : Problème contextualisé - Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique, intérêts composés

On s'intéresse au loyer d'un appartement. Le loyer annuel coûte \( 6\:200 \) euros à l’entrée dans les lieux en \( 2\:005 \).

Chaque année, le loyer annuel augmente de \( 1\mbox{,}9 \) %.
On modélise le prix des loyers annuels par une suite numérique géométrique (\( v_n \)).
On note \( v_0 \) le loyer annuel (en euros) payé en \( 2\:005 \).
Étant donné un entier naturel \( n \), on note \( v_n \), le prix du loyer annuel (en euros) pendant l’année (\( 2\:005 + n \)).
On a donc le premier terme \( v_{0} = 6\:200 \) euros.

Calculer le terme \( v_{6} \) correspondant à l’année \( 2\:011 \).
On donnera une réponse à l’unité près et suivie de l'unité qui convient.

Calculer la somme des \( 7 \) premiers loyers annuels.
On donnera une réponse à l’unité près et suivie de l'unité qui convient.

Exercice 4 : Somme des premiers termes d'une suite géométrique(la suite démarre forcément à u_0)

Soit \((u_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 7 \\ \forall n \geq 0, u_{n+1} = 8u_n \end{cases} \] Calculer \(u_0 + u_1 + u_2 + ... u_{15}\).

Exercice 5 : Écrire la forme explicite d'une suite géométrique connaissant u0 et la relation récurrence (q et u0 >0)

Calculer : \[ 1 + 6 + 6^{2} + 6^{3} + ... + 6^{19} \]
On donnera le résultat exact sous n'importe quelle forme ne comprenant pas de "...".

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